Το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας, που προτάθηκε από τον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Ζήνωνα, αψηφά την κοινή λογική. Ισχυρίζεται ότι ο αθλητικός τύπος Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ την αδέξια χελώνα αν ξεκινήσει την κίνησή της πριν από αυτόν. Τι είναι λοιπόν: σοφισμός (ένα εσκεμμένο λάθος στην απόδειξη) ή ένα παράδοξο (μια δήλωση που έχει λογική εξήγηση); Ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε αυτό το άρθρο.
Ποιος είναι ο Ζήνων;
Ο Ζήνων γεννήθηκε γύρω στο 488 π. Χ. στην Ελέα (σημερινή Βέλια) της Ιταλίας. Έζησε για αρκετά χρόνια στην Αθήνα, όπου αφιέρωσε όλη του την ενέργεια στην εξήγηση και την ανάπτυξη του φιλοσοφικού συστήματος του Παρμενίδη. Είναι γνωστό από τα γραπτά του Πλάτωνα ότι ο Ζήνων ήταν 25 χρόνια νεότερος από τον Παρμενίδη και έγραψε μια υπεράσπιση του φιλοσοφικού του συστήματος σε πολύ νεαρή ηλικία. Αν και ελάχιστα έχουν διασωθεί από τα γραπτά του. Οι περισσότεροι από εμάς γνωρίζουμε γι 'αυτόν μόνο από τα γραπτά του Αριστοτέλη, και επίσης ότι αυτός ο φιλόσοφος, ο Ζήνων ο Ελέας, είναι διάσημος για τα φιλοσοφικά τουσυλλογισμός.
Βιβλίο των παραδόξων
Τον πέμπτο αιώνα π. Χ., ο Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων ασχολήθηκε με τα φαινόμενα της κίνησης, του χώρου και του χρόνου. Το πώς μπορούν να κινούνται άνθρωποι, ζώα και αντικείμενα είναι η βάση του παραδόξου Αχιλλέα-χελώνας. Ο μαθηματικός και φιλόσοφος έγραψε τέσσερα παράδοξα ή «παράδοξα κίνησης» που συμπεριλήφθηκαν σε ένα βιβλίο που έγραψε ο Ζήνων πριν από 2500 χρόνια. Υποστήριξαν τη θέση του Παρμενίδη ότι η κίνηση ήταν αδύνατη. Θα εξετάσουμε το πιο διάσημο παράδοξο - για τον Αχιλλέα και τη χελώνα.
Η ιστορία είναι η εξής: Ο Αχιλλέας και η χελώνα αποφάσισαν να διαγωνιστούν στο τρέξιμο. Για να γίνει πιο ενδιαφέρον ο διαγωνισμός, η χελώνα ήταν μπροστά από τον Αχιλλέα με κάποια απόσταση, αφού ο τελευταίος είναι πολύ πιο γρήγορος από τη χελώνα. Το παράδοξο ήταν ότι όσο θεωρητικά συνεχιζόταν το τρέξιμο, ο Αχιλλέας δεν θα προσπερνούσε ποτέ τη χελώνα.
Σε μια εκδοχή του παραδόξου, ο Ζήνων δηλώνει ότι δεν υπάρχει τέτοιο πράγμα όπως κίνηση. Υπάρχουν πολλές παραλλαγές, ο Αριστοτέλης απαριθμεί τέσσερις από αυτές, αν και μπορούν ουσιαστικά να ονομαστούν παραλλαγές στα δύο παράδοξα της κίνησης. Το ένα αγγίζει τον χρόνο και το άλλο αγγίζει το χώρο.
Από τη φυσική του Αριστοτέλη
Από το βιβλίο VI.9 της φυσικής του Αριστοτέλη μπορείτε να μάθετε ότι
Σε έναν αγώνα, ο ταχύτερος δρομέας δεν μπορεί ποτέ να προσπεράσει τον πιο αργό, καθώς ο διώκτης πρέπει πρώτα να φτάσει στο σημείο όπου ξεκίνησε η καταδίωξη.
Έτσι αφού ο Αχιλλέας τρέξει για αόριστο χρονικό διάστημα, θα φτάσει σε ένα σημείοαπό την οποία ξεκίνησε η χελώνα. Αλλά ακριβώς την ίδια στιγμή, η χελώνα θα προχωρήσει προς τα εμπρός, φτάνοντας στο επόμενο σημείο στο μονοπάτι της, οπότε ο Αχιλλέας πρέπει ακόμα να προλάβει τη χελώνα. Και πάλι προχωρά, πλησιάζοντας αρκετά γρήγορα αυτό που καταλάμβανε η χελώνα, και πάλι "ανακαλύπτει" ότι η χελώνα έχει συρθεί λίγο μπροστά.
Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται όσο θέλετε να την επαναλάβετε. Επειδή οι διαστάσεις είναι ανθρώπινη κατασκευή και άρα άπειρες, δεν θα φτάσουμε ποτέ στο σημείο όπου ο Αχιλλέας νικήσει τη χελώνα. Αυτό ακριβώς είναι το παράδοξο του Ζήνωνα για τον Αχιλλέα και τη χελώνα. Ακολουθώντας λογικούς συλλογισμούς, ο Αχιλλέας δεν θα μπορέσει ποτέ να φτάσει τη χελώνα. Στην πράξη, φυσικά, ο σπρίντερ Αχιλλέας θα τρέξει μπροστά από την αργή χελώνα.
Έννοια του παραδόξου
Η περιγραφή είναι πιο περίπλοκη από το πραγματικό παράδοξο. Γι' αυτό πολλοί λένε: «Δεν καταλαβαίνω το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας». Είναι δύσκολο να αντιληφθεί κανείς με το μυαλό αυτό που στην πραγματικότητα δεν είναι προφανές, αλλά ακριβώς το αντίθετο είναι προφανές. Όλα περιέχονται στην εξήγηση του ίδιου του προβλήματος. Ο Ζήνων αποδεικνύει ότι ο χώρος είναι διαιρετός, και εφόσον είναι διαιρετός, δεν μπορεί κανείς να φτάσει σε ένα ορισμένο σημείο του χώρου όταν ένα άλλο έχει μετακινηθεί πιο μακριά από αυτό το σημείο.
Ο
Ο Ζήνων, δεδομένων αυτών των συνθηκών, αποδεικνύει ότι ο Αχιλλέας δεν μπορεί να φτάσει τη χελώνα, επειδή ο χώρος μπορεί να χωριστεί άπειρα σε μικρότερα μέρη, όπου η χελώνα θα είναι πάντα μέρος του χώρου μπροστά. Πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι ενώ ο χρόνος είναι κίνηση, όπωςαυτό έκανε ο Αριστοτέλης, οι δύο δρομείς θα κινούνται επ' αόριστον, με αποτέλεσμα να είναι ακίνητοι. Αποδεικνύεται ότι ο Ζήνων έχει δίκιο!
Η λύση στο παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας
Το
Paradox δείχνει την ασυμφωνία μεταξύ του τρόπου με τον οποίο σκεφτόμαστε τον κόσμο και του πώς είναι στην πραγματικότητα ο κόσμος. Ο Joseph Mazur, ομότιμος καθηγητής μαθηματικών και συγγραφέας του Enlightened Symbols, περιγράφει το παράδοξο ως ένα «κόλπο» που σε κάνει να σκέφτεσαι τον χώρο, τον χρόνο και την κίνηση με λάθος τρόπο.
Μετά έρχεται το καθήκον να προσδιορίσουμε τι ακριβώς είναι λάθος με τη σκέψη μας. Η κίνηση είναι δυνατή, φυσικά, ένας γρήγορος άνθρωπος δρομέας μπορεί να ξεπεράσει μια χελώνα σε έναν αγώνα.
Το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας όσον αφορά τα μαθηματικά είναι το εξής:
- Αν υποθέσουμε ότι η χελώνα είναι 100 μέτρα μπροστά, όταν ο Αχιλλέας έχει περπατήσει 100 μέτρα, η χελώνα θα είναι 10 μέτρα μπροστά του.
- Όταν φτάσει αυτά τα 10 μέτρα, η χελώνα θα είναι 1 μέτρο μπροστά.
- Όταν φτάσει το 1 μέτρο, η χελώνα θα είναι 0,1 μέτρα μπροστά.
- Όταν φτάσει τα 0,1 μέτρα, η χελώνα θα είναι 0,01 μέτρα μπροστά.
Έτσι στην ίδια διαδικασία ο Αχιλλέας θα υποστεί αμέτρητες ήττες. Φυσικά, σήμερα γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των 100 + 10 + 1 + 0, 1 + 0, 001 + …=111, 111… είναι ο ακριβής αριθμός και καθορίζει πότε ο Αχιλλέας νικάει τη χελώνα.
Στο άπειρο, όχι πέρα από
Η σύγχυση που δημιουργήθηκε από το παράδειγμα του Ζήνωνα ήταν κυρίως από έναν άπειρο αριθμό κουκκίδωνπαρατηρήσεις και θέσεις που έπρεπε πρώτα να φτάσει ο Αχιλλέας καθώς η χελώνα κινούνταν σταθερά. Έτσι, θα ήταν σχεδόν αδύνατο για τον Αχιλλέα να προσπεράσει τη χελώνα, πόσο μάλλον να την προσπεράσει.
Πρώτον, η χωρική απόσταση μεταξύ του Αχιλλέα και της χελώνας γίνεται όλο και μικρότερη. Όμως ο χρόνος που απαιτείται για την κάλυψη της απόστασης μειώνεται αναλογικά. Το δημιουργημένο πρόβλημα του Ζήνωνα οδηγεί στην επέκταση των σημείων κίνησης στο άπειρο. Αλλά δεν υπήρχε ακόμη μαθηματική έννοια.
Όπως γνωρίζετε, μόνο στα τέλη του 17ου αιώνα, ήταν δυνατό να βρεθεί μια μαθηματικά αιτιολογημένη λύση σε αυτό το πρόβλημα στον λογισμό. Ο Νεύτωνας και ο Λάιμπνιτς προσέγγισαν το άπειρο με τυπικές μαθηματικές προσεγγίσεις.
Ο Άγγλος μαθηματικός, λογικός και φιλόσοφος Μπέρτραντ Ράσελ είπε ότι «…Τα επιχειρήματα του Ζήνωνα με τη μια ή την άλλη μορφή παρείχαν τη βάση για όλες σχεδόν τις θεωρίες του χώρου και του απείρου που προτάθηκαν στην εποχή μας μέχρι σήμερα…»
Είναι αυτό σοφισμός ή παράδοξο;
Από φιλοσοφική άποψη, ο Αχιλλέας και η χελώνα είναι ένα παράδοξο. Δεν υπάρχουν αντιφάσεις και λάθη στο συλλογισμό. Όλα βασίζονται στον καθορισμό στόχων. Ο Αχιλλέας είχε στόχο όχι να προλάβει και να προσπεράσει, αλλά να προλάβει. Ρύθμιση στόχου - κάλυψη της διαφοράς. Αυτό δεν θα επιτρέψει ποτέ στον γρήγορο Αχιλλέα να προσπεράσει ή να προσπεράσει τη χελώνα. Σε αυτήν την περίπτωση, ούτε η φυσική με τους νόμους της ούτε τα μαθηματικά μπορούν να βοηθήσουν τον Αχιλλέα να ξεπεράσει αυτό το αργό πλάσμα.
Χάρη σε αυτό το μεσαιωνικό φιλοσοφικό παράδοξο,που δημιούργησε ο Ζήνων, μπορούμε να συμπεράνουμε: πρέπει να θέσετε σωστά τον στόχο και να προχωρήσετε προς αυτόν. Σε μια προσπάθεια να προλάβετε κάποιον, θα παραμείνετε πάντα δεύτεροι, και μάλιστα στην καλύτερη περίπτωση. Γνωρίζοντας τι στόχο θέτει ένα άτομο, μπορεί κανείς να πει με σιγουριά αν θα τον πετύχει ή θα σπαταλήσει τον χρόνο, τους πόρους και την ενέργειά του.
Στην πραγματική ζωή, υπάρχουν πολλά παραδείγματα λανθασμένου καθορισμού στόχων. Και το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας θα είναι επίκαιρο όσο υπάρχει η ανθρωπότητα.
