Στη διαδικασία της μελέτης των μαθηματικών, οι μαθητές εξοικειώνονται με την έννοια του αριθμητικού μέσου όρου. Στο μέλλον, στη στατιστική και σε ορισμένες άλλες επιστήμες, οι μαθητές έρχονται αντιμέτωποι με τον υπολογισμό άλλων μέσων όρων. Τι μπορεί να είναι και σε τι διαφέρουν μεταξύ τους;
Μέσες τιμές: σημασία και διαφορές
Οι ακριβείς δείκτες δεν δίνουν πάντα κατανόηση της κατάστασης. Για να αξιολογηθεί αυτή ή εκείνη η κατάσταση, μερικές φορές είναι απαραίτητο να αναλυθεί ένας τεράστιος αριθμός αριθμών. Και τότε οι μέσοι όροι έρχονται στη διάσωση. Σας επιτρέπουν να αξιολογήσετε την κατάσταση γενικά.
Από τα σχολικά χρόνια, πολλοί ενήλικες θυμούνται την ύπαρξη του αριθμητικού μέσου όρου. Είναι πολύ εύκολο να υπολογιστεί - το άθροισμα μιας ακολουθίας n όρων διαιρείται με το n. Δηλαδή, εάν πρέπει να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο όρο στην ακολουθία των τιμών 27, 22, 34 και 37, τότε πρέπει να λύσετε την έκφραση (27 + 22 + 34 + 37) / 4, αφού 4 τιμές χρησιμοποιούνται στους υπολογισμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, η επιθυμητή τιμή θα είναι ίση με 30.
Ο γεωμετρικός μέσος όρος συχνά μελετάται ως μέρος του σχολικού μαθήματος. Ο υπολογισμός αυτής της τιμής βασίζεται στην εξαγωγή της ρίζας του nου βαθμού από το γινόμενον-μέλη. Αν πάρουμε τους ίδιους αριθμούς: 27, 22, 34 και 37, τότε το αποτέλεσμα των υπολογισμών θα είναι 29, 4.
Ο αρμονικός μέσος όρος σε ένα ολοκληρωμένο σχολείο συνήθως δεν αποτελεί αντικείμενο μελέτης. Ωστόσο, χρησιμοποιείται αρκετά συχνά. Αυτή η τιμή είναι η αντίστροφη του αριθμητικού μέσου όρου και υπολογίζεται ως πηλίκο του n - ο αριθμός των τιμών και το άθροισμα 1/a1+1/a2 +…+1/a. Αν πάλι πάρουμε την ίδια σειρά αριθμών για υπολογισμό, τότε η αρμονική θα είναι 29, 6.
Ζυγισμένος μέσος όρος: χαρακτηριστικά
Ωστόσο, όλες οι παραπάνω τιμές ενδέχεται να μην χρησιμοποιούνται παντού. Για παράδειγμα, στις στατιστικές, κατά τον υπολογισμό κάποιων μέσων τιμών, σημαντικό ρόλο παίζει το «βάρος» κάθε αριθμού που χρησιμοποιείται στον υπολογισμό. Τα αποτελέσματα είναι πιο αποκαλυπτικά και σωστά γιατί λαμβάνουν υπόψη περισσότερες πληροφορίες. Αυτή η ομάδα τιμών αναφέρεται συλλογικά ως "σταθμισμένος μέσος όρος". Δεν περνούν στο σχολείο, γι' αυτό αξίζει να σταθούμε πιο αναλυτικά σε αυτά.
Πρώτα απ' όλα, αξίζει να εξηγήσουμε τι σημαίνει το "βάρος" μιας συγκεκριμένης αξίας. Ο ευκολότερος τρόπος για να το εξηγήσετε αυτό είναι με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Η θερμοκρασία του σώματος κάθε ασθενή μετράται δύο φορές την ημέρα στο νοσοκομείο. Από τους 100 ασθενείς σε διαφορετικά τμήματα του νοσοκομείου, οι 44 θα έχουν κανονική θερμοκρασία - 36,6 βαθμούς. Άλλα 30 θα έχουν αυξημένη τιμή - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, και τα υπόλοιπα δύο - 40. Και αν πάρουμε τον αριθμητικό μέσο όρο, τότε αυτή η τιμή γενικά για το νοσοκομείο θα είναι πάνω από 38βαθμούς! Αλλά σχεδόν οι μισοί ασθενείς έχουν μια απολύτως φυσιολογική θερμοκρασία. Και εδώ θα ήταν πιο σωστό να χρησιμοποιήσετε τον σταθμισμένο μέσο όρο και το "βάρος" κάθε τιμής θα είναι ο αριθμός των ατόμων. Σε αυτή την περίπτωση, το αποτέλεσμα του υπολογισμού θα είναι 37,25 μοίρες. Η διαφορά είναι προφανής.
Στην περίπτωση υπολογισμών σταθμισμένου μέσου όρου, το "βάρος" μπορεί να ληφθεί ως ο αριθμός των αποστολών, ο αριθμός των ατόμων που εργάζονται μια δεδομένη ημέρα, γενικά, οτιδήποτε μπορεί να μετρηθεί και να επηρεάσει το τελικό αποτέλεσμα.
Ποικιλίες
Ο σταθμισμένος μέσος όρος αντιστοιχεί στον αριθμητικό μέσο όρο που συζητήθηκε στην αρχή του άρθρου. Ωστόσο, η πρώτη τιμή, όπως ήδη αναφέρθηκε, λαμβάνει επίσης υπόψη το βάρος κάθε αριθμού που χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς. Επιπλέον, υπάρχουν επίσης γεωμετρικοί και αρμονικοί σταθμισμένοι μέσοι όροι.
Υπάρχει μια άλλη ενδιαφέρουσα παραλλαγή που χρησιμοποιείται σε σειρές αριθμών. Αυτός είναι ένας σταθμισμένος κινητός μέσος όρος. Στη βάση του υπολογίζονται οι τάσεις. Εκτός από τις ίδιες τις τιμές και το βάρος τους, χρησιμοποιείται και η περιοδικότητα. Και κατά τον υπολογισμό της μέσης τιμής σε κάποια χρονική στιγμή, λαμβάνονται επίσης υπόψη οι τιμές για προηγούμενες χρονικές περιόδους.
Ο υπολογισμός όλων αυτών των τιμών δεν είναι τόσο δύσκολος, αλλά στην πράξη χρησιμοποιείται συνήθως μόνο ο συνήθης σταθμισμένος μέσος όρος.
Μέθοδοι υπολογισμού
Στην εποχή της μηχανογράφησης, δεν χρειάζεται να υπολογιστεί χειροκίνητα ο σταθμισμένος μέσος όρος. Ωστόσο, θα ήταν χρήσιμο να γνωρίζετε τον τύπο υπολογισμού για να μπορείτεελέγξτε και, εάν χρειάζεται, διορθώστε τα αποτελέσματα που προέκυψαν.
Θα είναι πιο εύκολο να εξετάσετε τον υπολογισμό σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.
| Μισθός (χιλιάδες ρούβλια) | Αριθμός εργαζομένων (άτομα) |
| 32 | 20 |
| 33 | 35 |
| 34 | 14 |
| 40 | 6 |
Είναι απαραίτητο να μάθετε ποιος είναι ο μέσος μισθός σε αυτήν την επιχείρηση, λαμβάνοντας υπόψη τον αριθμό των εργαζομένων που λαμβάνουν αυτό ή εκείνο το εισόδημα.
Έτσι, ο σταθμισμένος μέσος όρος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
x=(a1w1+a2w 2+…+a w)/(w1+w 2+…+w)
Για παράδειγμα, ο υπολογισμός θα είναι ως εξής:
x=(3220+3335+3414+406)/(20+35+14+6)=(640+1155+476+240)/75=33, 48
Προφανώς, δεν είναι πολύ δύσκολο να υπολογίσετε με μη αυτόματο τρόπο τον σταθμισμένο μέσο όρο. Ο τύπος για τον υπολογισμό αυτής της τιμής σε μια από τις πιο δημοφιλείς εφαρμογές με τύπους - το Excel - μοιάζει με τη συνάρτηση SUMPRODUCT (σειρά αριθμών, σειρά βαρών) / SUM (σειρά βαρών).
