Κριτήριο Hurwitz. Κριτήρια σταθερότητας των Wald, Hurwitz, Savage

2024 Συγγραφέας: Henry Conors | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-02-12 05:59

Το άρθρο εξετάζει έννοιες όπως τα κριτήρια των Hurwitz, Savage και Wald. Η έμφαση δίνεται κυρίως στο πρώτο. Το κριτήριο Hurwitz περιγράφεται λεπτομερώς τόσο από αλγεβρική άποψη όσο και από την άποψη της λήψης αποφάσεων υπό αβεβαιότητα.

Αξίζει να ξεκινήσετε με έναν ορισμό της βιωσιμότητας. Χαρακτηρίζει την ικανότητα του συστήματος να επιστρέψει στην κατάσταση ισορροπίας μετά το τέλος της διαταραχής, η οποία παραβίασε την προηγουμένως σχηματισμένη ισορροπία.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι ο αντίπαλός του - ένα ασταθές σύστημα - απομακρύνεται συνεχώς από την κατάσταση ισορροπίας του (ταλαντώνεται γύρω του) με ένα πλάτος επιστροφής.

Κριτήρια βιωσιμότητας: ορισμός, τύποι

Αυτό είναι ένα σύνολο κανόνων που σας επιτρέπουν να κρίνετε τα υπάρχοντα σημάδια των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης χωρίς να αναζητάτε τη λύση της. Και οι τελευταίες, με τη σειρά τους, παρέχουν την ευκαιρία να κρίνουμε τη σταθερότητα ενός συγκεκριμένου συστήματος.

Κατά κανόνα, είναι:

• αλγεβρικό (κατάρτιση αλγεβρικών παραστάσεων σύμφωνα με μια συγκεκριμένη χαρακτηριστική εξίσωση χρησιμοποιώντας ειδικέςκανόνες που χαρακτηρίζουν τη σταθερότητα του ACS);
• συχνότητα (αντικείμενο μελέτης - χαρακτηριστικά συχνότητας).

Κριτήριο σταθερότητας Hurwitz από αλγεβρική άποψη

Είναι ένα αλγεβρικό κριτήριο, το οποίο συνεπάγεται την εξέταση μιας ορισμένης χαρακτηριστικής εξίσωσης με τη μορφή τυπικής μορφής:

A(p)=aᵥpᵛ+aᵥ₋1pᵛ¯¹+…+a1p+a₀=0.

Χρησιμοποιώντας τους συντελεστές του, σχηματίζεται ο πίνακας Hurwitz.

Ο κανόνας για τη σύνταξη του πίνακα Hurwitz

Στην κατεύθυνση από πάνω προς τα κάτω, όλοι οι συντελεστές της αντίστοιχης χαρακτηριστικής εξίσωσης γράφονται με τη σειρά, ξεκινώντας από aᵥ₋1 έως a0. Σε όλες τις στήλες προς τα κάτω από την κύρια διαγώνιο υποδεικνύονται οι συντελεστές αύξησης των δυνάμεων του τελεστή p, μετά προς τα πάνω - μειώνονται. Τα στοιχεία που λείπουν αντικαθίστανται με μηδενικά.

Είναι γενικά αποδεκτό ότι το σύστημα είναι σταθερό όταν όλα τα διαθέσιμα διαγώνια ελάσσονα του εξεταζόμενου πίνακα είναι θετικά. Εάν η κύρια ορίζουσα είναι ίση με μηδέν, τότε μπορούμε να μιλήσουμε για το ότι βρίσκεται στο όριο σταθερότητας και aᵥ=0. Εάν πληρούνται οι άλλες προϋποθέσεις, το υπό εξέταση σύστημα βρίσκεται στο όριο μιας νέας απεριοδικής σταθερότητας (η προτελευταία ελάσσονα ισοδυναμεί με μηδέν). Με μια θετική τιμή των υπόλοιπων δευτερευόντων - στο όριο της ήδη ταλαντευτικής σταθερότητας.

Λήψη αποφάσεων σε κατάσταση αβεβαιότητας: κριτήρια των Wald, Hurwitz, Savage

Είναι τα κριτήρια για την επιλογή της πιο κατάλληλης παραλλαγής της στρατηγικής. Το κριτήριο Savage (Hurwitz, Wald) χρησιμοποιείται σε καταστάσεις όπου υπάρχουν αβέβαιες a priori πιθανότητες των φυσικών καταστάσεων. Η βάση τους είναι η ανάλυση του πίνακα κινδύνου ή του πίνακα πληρωμών. Εάν η κατανομή πιθανοτήτων των μελλοντικών καταστάσεων είναι άγνωστη, όλες οι διαθέσιμες πληροφορίες περιορίζονται σε μια λίστα με τις πιθανές επιλογές τους.

Λοιπόν, αξίζει να ξεκινήσετε με το κριτήριο μεγιστοποίησης του Wald. Λειτουργεί ως κριτήριο ακραίας απαισιοδοξίας (επιφυλακτικός παρατηρητής). Αυτό το κριτήριο μπορεί να διαμορφωθεί τόσο για καθαρές όσο και για μικτές στρατηγικές.

Πήρε το όνομά του με βάση την υπόθεση του στατιστικολόγου ότι η φύση μπορεί να πραγματοποιήσει καταστάσεις στις οποίες το ποσό του κέρδους ισοδυναμεί με τη μικρότερη τιμή.

Αυτό το κριτήριο είναι πανομοιότυπο με το απαισιόδοξο, το οποίο χρησιμοποιείται στην πορεία επίλυσης παιχνιδιών μήτρας, πιο συχνά σε καθαρές στρατηγικές. Έτσι, πρώτα πρέπει να επιλέξετε την ελάχιστη τιμή του στοιχείου από κάθε σειρά. Στη συνέχεια επιλέγεται η στρατηγική του λήπτη αποφάσεων, η οποία αντιστοιχεί στο μέγιστο στοιχείο μεταξύ των ήδη επιλεγμένων ελάχιστων.

Οι επιλογές που επιλέγονται με βάση το υπό εξέταση κριτήριο είναι ακίνδυνες, καθώς ο υπεύθυνος λήψης αποφάσεων δεν αντιμετωπίζει χειρότερο αποτέλεσμα από αυτό που λειτουργεί ως κατευθυντήρια γραμμή.

Έτσι, σύμφωνα με το κριτήριο Wald, η καθαρή στρατηγική αναγνωρίζεται ως η πιο αποδεκτή, καθώς εγγυάται το μέγιστο κέρδος στις χειρότερες συνθήκες.

Στη συνέχεια, εξετάστε το κριτήριο του Savage. Εδώ, όταν επιλέγουν μία από τις διαθέσιμες λύσεις, στην πράξη, κατά κανόνα, σταματούν σε αυτή που θα οδηγήσει σε ελάχιστες συνέπειες σε περίπτωση πουαν η επιλογή εξακολουθεί να είναι λάθος.

Σύμφωνα με αυτήν την αρχή, κάθε απόφαση χαρακτηρίζεται από ένα ορισμένο ποσό πρόσθετων απωλειών που προκύπτουν κατά την εφαρμογή της, σε σύγκριση με το σωστό στην υπάρχουσα κατάσταση. Προφανώς, η σωστή λύση δεν μπορεί να έχει πρόσθετες απώλειες, γι' αυτό και η τιμή τους ισοδυναμεί με μηδέν. Έτσι, η πιο βολική στρατηγική είναι αυτή στην οποία το ποσό των απωλειών είναι ελάχιστο υπό τις χειρότερες συνθήκες.

Κριτήριο απαισιοδοξίας-αισιοδοξίας

Αυτό είναι ένα άλλο όνομα για το κριτήριο Hurwitz. Κατά τη διαδικασία επιλογής μιας λύσης, κατά την αξιολόγηση της τρέχουσας κατάστασης, αντί για δύο άκρα, τηρούν τη λεγόμενη ενδιάμεση θέση, η οποία λαμβάνει υπόψη την πιθανότητα τόσο ευνοϊκής όσο και χειρότερης συμπεριφοράς της φύσης.

Αυτός ο συμβιβασμός προτάθηκε από τον Hurwitz. Σύμφωνα με τον ίδιο, για οποιαδήποτε λύση, πρέπει να ορίσετε έναν γραμμικό συνδυασμό ελάχιστων και μέγιστων και στη συνέχεια να επιλέξετε μια στρατηγική που αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή τους.

Πότε δικαιολογείται το εν λόγω κριτήριο;

Συνιστάται να χρησιμοποιήσετε το κριτήριο Hurwitz σε μια κατάσταση που χαρακτηρίζεται από τα ακόλουθα χαρακτηριστικά:

1. Υπάρχει ανάγκη να ληφθεί υπόψη η χειρότερη περίπτωση.
2. Έλλειψη γνώσης σχετικά με τις πιθανότητες των φυσικών καταστάσεων.
3. Ας πάρουμε λίγο ρίσκο.
4. Ένας αρκετά μικρός αριθμός λύσεων εφαρμόζεται.

Συμπέρασμα

Τέλος, θα ήταν χρήσιμο να υπενθυμίσουμε ότι το άρθροΚριτήρια Hurwitz, Savage και Wald. Το κριτήριο Hurwitz περιγράφεται λεπτομερώς από διάφορες απόψεις.